Astroláb a stereografická projekce na ciferníku orloje

K astrolábu jen krátce. Jedná se o středověký jednoduchý astrometrický přístroj založený na stereografické projekci. PhDr. Alena Hadravová, CSc. z Ústavu pro soudobé dějiny AV o něm v článku na @muni.cz  říká: " Astronomický přístroj astroláb, který byl pro svou univerzalitu využíván snad dva tisíce let, byl takovým malým vědeckým zázrakem, chytrým a přitom i krásným předmětem. To, že právě traktát českého univerzitního učitele 15. století Křišťana z Prachatic byl z mnoha tehdy existujících textů o tomto přístroji vytištěn jako první pojednání o astrolábu na světě vůbec, je myslím hezký výsledek české středověké vědy. " Český popis astrolábu - astrolabium parvum - najdeme i v orlojní knize ze 17. století.

Dnes bychom astroláb považovali mechanický analogový počítač, který používá speciální zobrazení povrchu koule - nebeské sféry do roviny ciferníku (nebo jiné rovnoběžné roviny). Tomuto zobrazení se říká stereografická projekce. Patrně první jí použil k promítnutí nebeské sféry do roviny alexandrijský učenec Hipparchos z Bithýnie kolem roku 180-125 př. n. l. Díky ní lze modelovat pohyby nebeských těles v rovině a provádět tak celkem jednoduše "výpočty sférické astronomie". Důležitou vlastností stereografické projekce je to, že každá prostorová kružnice na povrchu koule se zobrazí v rovině opět jako kružnice a zobrazení i přes svou nelinearitu zachovává úhly.  Více v prvním odkazu. Astroláb je na stereografické projekci zcela založen. 

Různé výpočetní pomůcky usnadní rutinní výpočty. Objev logaritmů umožnil konstrukci logaritmického pravítka, které díky logaritmické "projekci" čísel na posuvné stupnice umožňuje provádět operaci násobení sčítáním délek, tedy jen nastavením pravítka. Pro používání pravítka nebylo nutné umět logaritmický počet, tak jako při použití dnešního počítače není nutné rozumět jeho konstrukci. Je to však více než dobré a patří to tak trochu ke všeobecnému vzdělání. Právě tak stereografická projekce umožňuje řešit vztahy na povrchu koule v rovině.

V následujících stránkách se budeme věnovat zejména využitím stereografické projekce pro konstrukci ciferníku orloje. Předpokládáme, že ciferník je odvozen od v té době rozšířeného planisférického astrolábu, kterým pohybuje hodinový stroj. Pro zobrazení základních denních i ročních pohybů Slunce by sice postačilo i jednodušší uspořádání. Nicméně autor orloje ve shodě s autory astrolábů zvolil podobu ciferníku založeného na stereografické projekci. 

Podoba ciferníku Pražského orloje je založena na stereografické projekci oblohy ze severního pólu na rovinu rovníku. (Případně na jinou rovnoběžnou rovinu). To neznamená, jak je někdy uváděno, že ciferník je stereografická projekce pouze jižní oblohy. Projekce při promítání ze severního pólu je schopna promítat celou oblohu. Severní oblohu vně kružnice rovníku, jižní oblohu pak dovnitř této kružnice. Ciferník Pražského orloje znázorňuje oblast dráhy Slunce, tedy oblast mezi obratníky. Za obratníkem Raka ciferník nepokračuje, žádné údaje se nezobrazují ani uvnitř obratníku Kozoroha. Ciferník orloje tedy zobrazuje symetrickou část severní i jižní oblohy i když plochy mezikruží jsou rozdílné.

Slovo "založena" znamená, že stereografická projekce se omezuje na vytvoření kružnic rovníku, obratníků, obzoru a astronomické noci. Rovněž kružnice ekliptiky je vytvořena v souladu s touto projekcí. Už to však neplatí pro pro pohyb ekliptiky a o jejím rozdělení na znamení. Nelineárnost zobrazení se mimo jiné projeví tím, že ačkoliv kružnice ekliptiky se promítá rovněž do kružnice, pól této ekliptiky se již do středu kružnice nepromítá. Technické řešení otáčení ekliptiky kolem pólu ekliptiky je mechanicky prakticky neproveditelné. Proto je použito zjednodušené řešení, kdy se ekliptika otáčí rovnoměrně kolem středu ciferníku. Vzhledem k tomu, že obecně složitější pohyby soustavy Slunce, Země a Měsíc jsou modelovány kruhovými rovnoměrnými pohyby, nepřináší opuštění principu stereografické projekce další zhoršení situace. (Srovnej Astrolabium parvum.)

Základní konstrukce kružnic obratníků a rovníku je na obrázku vlevo. Vlastně jde o konstrukce dvě. Modře je nakresleno promítání podle pojetí stereografické projekce z pólu I na rovinu rovníku. Rovník v tomto případě splývá s obrazem koule jejíž povrch promítáme, tedy nebeské sféry. Značení bodů je voleno podle orlojní knihy. Červeně je zakresle jednak ekliptika, jednak zjednodušená středověká konstrukce. 

Konstrukce hlavních kružnic podle Křišťana z Prachatic

Traktát Křišťana z Prachatic o stavbě a užití astrolábu pochází asi z roku 1407. Lze se domnívat, že se nejvíce bude blížit způsobu, jakým byl konstruován ciferník Pražského orloje. Prakticky stejnou (pouze otočenou) konstrukci nalezneme i v opisu Táborského zprávy o orloji ze 17. století na straně 71. To nás v tomto v přesvědčení ještě více utvrzuje.

Dnešní teoretické práce o stereografické projekci (viz odkazy) uvádějí promítání na rovinu tečnou k opačnému pólu. Vzdálenost projekční roviny ovlivňuje měřítko zobrazení. Vzdálenější rovina není pro konstrukci ciferníku příliš příznivá, protože se z menší kružnice odvozují kružnice větší. Tím se bohužel zvětšuje i chyba konstrukce. 
Z úcty k tradici budeme používat postup výroby astrolábu podle Křišťana. Konstrukce probíhá přímo na ciferníku, začíná z největší kružnice a minimalizuje tak konstrukční chyby. Vtip středověké konstrukce spočívá v tom, že se většinou promítá na rovinu procházející rovníkem z bodu G. Obratníky jsou od rovníku stejně vzdálené, tak se konstrukce dvakrát opakuje využívajíc podobnosti trojúhelníků N E B a L E G.

Konstrukce (obrázek vpravo) začíná libovolným nakreslením největší kružnice podle předpokládané velikosti ciferníku. Při projekci ze severního pólu jde o kružnici obratníku Raka. Dále nakreslíme ze středu úhel A E N představující sklon zemské osy. Podle Křišťana má být úhel 24°, podle opisu orlojní knihy 23,5°. (Sklon zemské osy se časem mění a v současné době je 23,439°). Zde jsme se tedy přidrželi hodnoty z orlojní knihy, protože i k ciferníku je třeba přistupovat jako k památce. Přímka vedená body B a N protíná svislou osu v bodě F, kterým ze stejného středu vedeme kružnici rovníku. Bod M získáme pomocí přímky G L. Vedeme jím kružnici obratníku Kozoroha, neboť jde o stereografický průmět obratníku Kozoroha při promítání z bodu G na rovinu rovníku. Ekliptika by byla vepsaná kružnice do kružnice Raka a opsaná kružnice kružnici Kozoroha. Její průměr je tedy součtem poloměrů kružnic obratníků. 

Velmi jednoduchá konstrukce, kterou nelze prakticky pokazit. Nebo ano? Stereografická projekce nebyla asi moc jasná ani autorům velké přestavby orloje v roce 1865, kdy vyrobili prstenec ekliptiky stejně velký jako rovník. Na sféře má ekliptika i rovník sice stejný průměr, ale stereografický průmět je odlišný. Proto pozdější "nastavení prstence", ale kupodivu již neopravené polohy Slunce a Měsíce. Dobové svědectví najdeme v rukopise K. J. Erbena. Více zde. Některé další případy chybného použití jsou uvedeny v závěru stránky. 

Konstrukce noci

Základní kružnice obratníků, rovníku a ekliptiky nejsou závislé na zeměpisné poloze orloje. Poloha soumrakové kružnice (horizontu) a kružnice astronomické noci již se zeměpisnou šířkou souvisí. V následující interaktivní konstrukci můžete závislost sledovat. Konstrukce se zabývá pevnou částí ciferníku, není proto zobrazena kružnice ekliptiky.

Poznamenejme ještě, že při konstrukci orlojů byla používána jak ukázaná projekce ze severního pólu, tak projekce z pólu jižního. Výhodou projekce ze severního pólu je to, že obratník Raka je vnější kružnice a Slunce tak v létě prochází nejvýše po největším oblouku. Co je výhodou pro Slunce není vhodné pro hvězdy. Astroláb s projekcí ze severního pólu zobrazuje jižní nebe. Všechny dochované přenosné planisférické astroláby jsou určeny pro pozorování hvězd, proto používají projekci z jižního pólu. Patrně s jejich větším rozšířením a snahou o sjednocení se toto promítání prosadilo i na orloje. Asi první takový orloj byl postaven v Mantově roku 1473. Novodobé orloje se k názornější severní projekci opět vrátily. (Litomyšl, Prostějov, Stará Bystrica, Tokio, Soul,...)

Ciferník orloje promítaného z jižního pólu poznáte podle prohozených obratníků a opačně vypouklé kružnice soumraku. Přibližnou představu získáte v našem modelu soumraku nastavením úhlu na hodnotu 130° a přetažením úsečky představující  astronomickou noc přes střed  do stejné vzdálenosti.

Chybné konstrukce ve světě i v Praze

Ale abychom nepoukazovali jen na Japonce. I náš Pražský orloj měl od roku 1948 do opravy v roce 1979 špatně namalovanou noc. Na dobové pohlednici je vidět noc namalovaná jako soustředný kruh v soumrakové kružnici. Nevadilo to astronomům, nevadilo to památkářům. Naštěstí to vadilo studentu Milanu Patkovi, který po dlouhém přemýšlení oslovil Klub za starou Prahu a další odborníky s úvahou, co je na orloji špatně. Odborníci uznali, že noc je opravdu chybně nakreslená a je potřeba při nejbližší příležitosti ciferník opravit. Co tomu předcházelo a jak to vlastně bylo si můžete přečíst v autentickém podání pana Patky.